Здравствуйте, Катерина.
Во-первых, автомеханик не является Вашим непосредственным начальником, поэтому Вы не обязаны выполнять его поручения.
Во-вторых, не подписывать путевые листы больным водителям.
В-третьих, обратиться к вышестоящему руководству и попросить вмешаться в сложившуюся ситуацию.
Если все Ваши старания не приведут к должным результатам, Вы можете обратиться в Украинский медицинский центр безопасности дорожного движения (или его филиал) с жалобой. Реакцией на Ваше обращение будет проверка: штрафы и другие взыскания вряд-ли будут, но, возможно, это поможет Вашей работе.
Кроме того, никто не запрещает Вам писать жалобу в прокуратуру и МОЗ.
Желаем удачи!